オール電化:
エコキュートのCOPの推定、その2

我が家ではオール電化(エコキュートとIHクッキングヒーター)&太陽光発電をリフォームで導入しました。
導入過程の重要ポイント、経験して初めて知った事など、体験談をご紹介します。

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 「オール電化:エコキュートのCOPの推定」で、エコキュートのCOPを、
任意の外気温と水温に対して推定しました。

 その結果は、

   
COP(Ta,Tw)= -0.051*Tw + 0.0756・Ta + 5.0111

でした。


 ところが・・・。

 「エコキュート:え、ホント? 370Lより460Lの方が省エネ?」を作成後に
気がついてしまいました。


  
65
 ∫{460L/COP(7,Tw)}dTw=(数値計算)=7430kcal
  
9

 (65−9)×460=25760kcal、COP=257600kcal/7430kcal=
3.47

 カタログ値は、冬季COP=
3.64。 あれ? 微妙に合わない・・・。


  
90
 ∫{460L/COP(7,Tw)}dTw=(数値計算)=15085kcal
  
9

 (90−9)×460=37260kcal、COP=37260kcal/15085kcal=
2.47

 カタログ値は、冬季高温COP=
3.00。 え? だいぶ違うぞ〜!


 カタログ値と計算値を表1にまとめてみました。

表1
測定条件 気温(℃) 水温(℃) カタログCOP 計算COP
冬季高温 7 9 3.00 2.47
冬季 7 9 3.64 3.47
定格 16 17 4.17 4.01
夏季 25 24 4.59 4.56

 全体的に計算値の方が小さめになっています。つまりCOPを低めに推定
してしまったことになります。
 特に「冬季高温」の違いは、「誤差」として片付けるには気持ちが悪い。

 何でだろう・・・。
何でだろう・・・。何でだろう・・・。何でだろう・・・。だろう・・・。だろう・・・。

 

 『冬期高温加熱能力』は『冬期加熱能力』と『65〜90℃の加熱能力』の
加重平均で求められると仮定すると、下記の式で表すことができます。


 
 『冬期加熱能力』×(9〜65)+『65〜90℃の加熱能力』×(90-65) 
                    (90-9)


 あ、これ・・・。
 必要な熱量を計算する時、COP(≒『加熱能力』)は
分母に来るんだ!

 ということは、


 『冬期高温加熱能力』
の逆数は、『冬期加熱能力』の逆数と『65〜90℃の
加熱能力』
の逆数の加重平均で求められると仮定すると、下記の式で表す
ことができます。


 
(1/『冬期加熱能力』)×(9〜65)+(1/『65〜90℃の加熱能力』)×(90-65)
                    (90-9)


の方がより良い推定ではないだろうか???

 この式から逆算すると、『65〜90℃の加熱能力』は、
2.30と求められます。

 げ・・・、1.57なんてウソばっかり! コロナさん、ゴメンナサイ。m(_ _)m


 つまり、Fig.1ってことです。

Fig.1


 当然のことながら、


 データが2点しか無いのだから、ここは素直に直線近似で行ってみます。

 『冬期加熱能力』は、水温範囲(9〜65℃)の中央値37℃を固定して傾きを
変えても平均値は変わりません。同様に『65〜90℃の加熱能力』は、水温
範囲(65〜90℃)の中央値77.5℃を固定して傾きを変えても平均値は変わり
ません。

 そこで、二つの●(37℃,COP=3.64)、(77.5℃,COP=1.57)を結ぶ直線を
外気温7℃におけるCOPとします。


 なんていう仮説も全く成り立ちません。
 逆数の平均値が同じにならなければいけなかったんですね。

 さて、どうやって推定しようか・・・。



 外気温をTa[℃]、水温Tw[℃]とし、COP(Ta,Tw)を

 COP(Ta,Tw)= a *Tw + b *Ta^2 + c *Ta + d

とします。


   
65
 =∫{1/(a *Tw + b *7^2 + c *7 + d)}dTw=(1/3.64)×(65-9)
   
9

   
90
 =∫{1/(a *Tw + b *7^2 + c *7 + d)}dTw=(1/3.00)×(90-9)
   
9

   
65
 =∫{1/(a *Tw + b *15^2 + c *15 + d)}dTw=(1/4.17)×(65-17)
   
17

   
65
 =∫{1/(a *Tw + b *25^2 + c *25 + d)}dTw=(1/4.59)×(65-24)
   
24


となるように、a、b、c、dを求めることにしました。

 未知数が4個で関係式が4個なので、原理的には解けるはずです。
ただ、これを解析的(数式的)に解くのは、私の数学力では大変そうです。

 そこで、積分を、dTw=0.5℃ずつ刻んでExcelで数値計算しました。
 さらに、Excelのソルバー機能を使ってa、b、c、dを変化させ、COPの誤差
の二乗和が最小になるa、b、c、dを求めました。
(詳細は割愛しますが、いわゆる最小二乗法と同じです。)


 その結果は以下の通りです。

 
COP(Ta,Tw)= -0.0382*Tw - 0.000676*Ta^2 + 0.0873*Ta + 4.5699


 Fig.2にグラフを示します。

Fig.2


 やれやれ、これで一件落着・・・だと良いのですが・・・。
 前回、ちゃんと検算をしなかったのはまずかったなあ・・・。

 というわけで、こういう間違いをすることもあるので、私の言うことを鵜呑み
にしないでくださいね。(笑)






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